关于Lucene的词典FST深入剖析

搜索引擎为什么能查询速度那么快?

核心是在于如何快速的依据查询词快速的查找到所有的相关文档,这也是倒排索引(Inverted Index)的核心思想。那么如何设计一个快速的(常量,或者1)定位词典的数据结构就显得尤其重要。简单来说,我们可以采用HashMap, TRIE, Binary Search Tree, Tenary Search Tree等各种数据结构来实现。

那么开源的搜索引擎包Lucene是怎么来设计的呢?Lucene采用了一种称为FST(Finite State Transducer)的结构来构建词典,这个结构保证了时间和空间复杂度的均衡,是Lucene的核心功能之一。

关于FST(Finite State Transducer)

FST类似一种TRIE树。

使用FSM(Finite State Machines)作为数据结构

FSM(Finite State Machines)有限状态机: 表示有限个状态(State)集合以及这些状态之间转移和动作的数学模型。其中一个状态被标记为开始状态,0个或更多的状态被标记为final状态
一个FSM同一时间只处于1个状态。FSM很通用,可以用来表示多种处理过程,下面的FSM描述了《小猫咪的一天》。

fsm 小猫咪的一天

其中“睡觉”或者“吃饭”代表的是状态,而“提供食物”或者“东西移动”则代表了转移。图中这个FSM是对小猫活动的一个抽象(这里并没有刻意写开始状态或者final状态),小猫咪不能同时的即处于“玩耍”又处于“睡觉”状态,并且从一个状态到下一个状态的转换只有一个输入。“睡觉”状态并不知道是从什么状态转换过来的,可能是“玩耍”,也可能是”猫砂窝”。

如果《小猫咪的一天》这个FSM接收以下的输入:

  • 提供食物
  • 有大声音
  • 安静
  • 消化食物

那么我们会明确的知道,小猫咪会这样依次变化状态: 睡觉->吃饭->躲藏->吃饭->猫砂窝.

以上只是一个现实中的例子,下面我们来看如何实现一个Ordered Sets,和Map结构。

Ordered Sets

Ordered Sets是一个有序集合。通常一个有序集合可以用二叉树、B树实现。无序的集合使用hash table来实现. 这里,我们用一个确定无环有限状态接收机(Deterministric acyclic finite state acceptor, FSA)来实现。

FSA是一个FSM(有限状态机)的一种,特性如下:

  • 确定:意味着指定任何一个状态,只可能最多有一个转移可以遍历到?。
  • 无环: 不可能重复遍历同一个状态
  • 接收机:有限状态机只“接受”特定的输入序列,并终止于final状态。

下面来看,我们如何来表示只有一个key:”jul“ 的集合。FSA是这样的:

fsm

当查询这个FSA是否包含“jul”的时候,按字符依序输入。

  • 输入j,FSA从0->1
  • 输入u, FSA从1->2
  • 输入l,FSA从2->3

这个时候,FSA处于final状态3,所以“jul”是在这个集合的。

设想一下如果输入“jun”,在状态2的时候无法移动了,就知道不在这个集合里了。
设想如何输入“ju”, 在状态2的时候,已经没有输入了。而状态2并不是final状态,所以也不在这个集合里。
值得指出的是,查找这个key是否在集合内的时间复杂度,取决于key的长度,而不是集合的大小。

现在往FSA里再加一个key. FSA此时包含keys:”jul”和“mar”。

fsm

start状态0此时有了2个转移:jm。因此,输入key:”mar”,首先会跟随m来转移。 final状态是“jul”和“mar”共享的。这使得我们能用更少的空间来表示更多的信息

当我们在这个FSA里加入“jun”,那么它和“jul”有共同的前缀“ju”:

fsm

这里变化很小,没有增加新的状态,只是多了一个转移而已。

下面来看一下由“october”,“november”,”december”构成的FSA.

fsm

它们有共同的后缀“ber”,所以在FSA只出现了1次。 其中2个有共同的后缀”ember”,也只出现了1次。

那么我们如何来遍历一个FSA表示的所有key呢,我们以前面的”jul”,“jun”,”mar”为例:

fsm

遍历算法是这样的:

  • 初始状态0, key=””
  • ->1, key=”j”
  • ->2, key=”ju”
  • ->3, key=”jul”, 找到jul
  • 2<-, key=”ju”
  • ->3, key=”jun”, 找到jun
  • 2<-, key=”ju”
  • 1<-, key=”j”
  • 0<-, key=””
  • ->4, key=”m”
  • ->5, key=”ma”,
  • ->3, key=”mar”,找到mar

这个算法时间复杂度O(n),n是集合里所有的key的大小, 空间复杂度O(k),k是结合内最长的key字段length。

Ordered maps

Ordered maps就像一个普通的map,只不过它的key是有序的。我们来看一下如何使用确定无环状态转换器(Deterministic acyclic finite state transducer, FST)来实现它。

FST是也一个有限状态机(FSM),具有这样的特性:

  • 确定:意味着指定任何一个状态,只可能最多有一个转移可以遍历到。
  • 无环: 不可能重复遍历同一个状态
  • transducer:接收特定的序列,终止于final状态,同时会输出一个值

FST和FSA很像,给定一个key除了能回答是否存在,还能输出一个关联的值

下面来看这样的一个输入:“jul:7”, 7是jul关联的值,就像是一个map的entry.

fst

这和对应的有序集合基本一样,除了第一个0->1的转换j关联了一个值7. 其他的转换u和l,默认关联的值是0,这里不予展现。

那么当我们查找key:”jul”的时候,大概流程如下:

  • 初始状态0
  • 输入j, FST从0->1, value=7
  • 输入u, FST从1->2, value=7+0
  • 输入l,FST从2->3, value=7+0+0

此时,FST处于final状态3,所以存在jul,并且给出output是7.

我们再看一下,加入mar:3之后,FST变成什么样:

fst

同样的很简单,需要注意的是mar自带的值3放在了第1个转移上。这只是为了算法更简单而已,事实上,可以放在其他转移上。

如果共享前缀,FST会发生什么呢?这里我们继续加入jun:6。

fst

和sets一样,jun和jul共享状态3, 但是有一些变化。

  • 0->1转移,输出从7变成了6
  • 2->3转移,输入l,输出值变成了1。

这个输出变化是很重要的,因为他改变了查找jul输出值的过程。

  • 初始状态0
  • 输入j, FST从0->1, value=6
  • 输入u, FST从1->2, value=6+0
  • 输入l,FST从2->3, value=6+0+1

最终的值仍旧是7,但是走的路径却是不一样的。
那查找jun是不是也是正确的呢?

  • 初始状态0
  • 输入j, FST从0 -> 1, value=6
  • 输入u,FST从1 -> 2, value=6+0
  • 输入n,FST从2 -> 3, value=6+0+0

从上可知,jun的查询也是正确的。FST保证了不同的转移有唯一的值,但同时也复用了大部分的数据结构。

实现共享状态的关键点是:每一个key,都在FST中对应一个唯一的路径。因此,对于任何一个特定的key,总会有一些value的转移组合使得路径是唯一的。我们需要做的就是如何来在转移中分配这些组合。

key输出的共享机制同样适用于共同前缀和共同后缀。比如我们有tuesday:3和thursday:5这样的FST:

fst

2个key有共同的前缀t,共同后缀sday。关联的2个value同样有共同的前缀。3可以写做3+0,而5可以写作:3+2。 这样很好的让实现了关联value的共享。

上面的这个例子,其实有点简单化,并且局限。假如这些关联的value并不是int呢? 实际上,FST对于关联value(outputs)的类型是要求必须有以下操作(method)的。

  • 加(Addition)
  • 减 (Subtraction)
  • 取前缀 (对于整数来说,就是min)

FST的构建

前面,一直没有提到如何构建FST。构建相对于遍历来说,还是有些复杂的。
为了简单化,我们假设set或者map里的数据是按字典序加入的。这个假设是很沉重的限制,不过我们会讲如何来缓解它。

为了构建FSM,我们先来看看TRIE树是如何构建的。

TRIE树的构建

TRIE可以看做是一个FSA,唯一的一个不同是TRIE只共享前缀,而FSA不仅共享前缀还共享后缀。

假设我们有一个这样的Set: mon,tues,thurs。FSA是这样的:

fst

相应的TRIE则是这样的,只共享了前缀。

fst trie

TRIE有重复的3个final状态3,8,11. 而8,11都是s转移,是可以合并的。

构建一个TRIE树是相当简单的。插入1个key,只需要做简单的查找就可以了。如果输入先结束,那么当前状态设置为final;如果无法转移了,那么就直接创建新的转移和状态。不要忘了最后一个创建的状态设置为final就可以了。

FST的构建

构建FST在很大程度上和构建FSA是一样的,主要的不同点是,怎么样在转移上放置和共享outputs

仍旧使用前面提到的例子,mon,tues和thurs,并给他们关联相应的星期数值2,3和5.

从第1个key, mon:2开始:

fst mon

这里虚线代表,在后续的insert过程中,FST可能有变化。

需要关注的是,这里只是把2放在了第1个转移上。技术上说,下面这样分配也是正确的。

fst mon alt

只不过,把output放在靠近start状态的算法更容易写而已。

下面继续把thurs:5插入:

fst mon thurs

就像FSA的insert一样,插入thurs之后,我们可以知道FST的mon部分(蓝色)就不会再变了。

由于mon和thurs没有共同的前缀,只是简单的2个map中的key. 所以他们的output value可以直接放置在start状态的第1个转移上。

下面,继续插入tues:3,

fst

这引起了新的变化。有一部分被冻住了,并且知道以后不会再修改了。output value也出现了重新的分配。因为tues的output是3,并且tues和thurs有共同的前缀t, 所以5和3的prefix操作得出的结果就是3. 状态0->状态4的value被分配为3,状态4->状态5设置为2。

我们再插入更多的key, 这次插入tye:99看发生什么情况:

fst

插入tye,导致”es”部分被冻住,同时由于共享前缀t, 状态4->状态9的输出是99-3=96。

最后一步,结束了,再执行一次冻住操作。

最终的FST长这样:

fst

Lucene FST

上一部分,对于FST的概念以及构建进行了详细的介绍。本部分将对Lucene FST的实现以及具体进行详细的分析。
Lucene关于FST相关的代码在package:org.apache.lucene.util.fst

org.apache.lucene.util.fst.Builder看起,这个是构建FST的Builder:

fst builder lucene

Builder通过泛型T,从而可以构建包含不同类型的FST。我们重点关注属性。

从其中插入数据add()方法看起:

    /** Add the next input/output pair.  The provided input
 *  must be sorted after the previous one according to
 *  {@link IntsRef#compareTo}.  It's also OK to add the same
 *  input twice in a row with different outputs, as long
 *  as {@link Outputs} implements the {@link Outputs#merge}
 *  method. Note that input is fully consumed after this
 *  method is returned (so caller is free to reuse), but
 *  output is not.  So if your outputs are changeable (eg
 *  {@link ByteSequenceOutputs} or {@link
 *  IntSequenceOutputs}) then you cannot reuse across
 *  calls. */
public void add(IntsRef input, T output) throws IOException {

  ...
  // prefixLenPlus1是计算出input和lastInput具有公共前缀的位置
  final int prefixLenPlus1 = pos1+1;

   // 1.新插入的节点放到frontier数组,UnCompileNode表明是新插入的,以后还可能会变化,还未放入FST内。
  if (frontier.length < input.length+1) {
    final UnCompiledNode<T>[] next = ArrayUtil.grow(frontier, input.length+1);
    for(int idx=frontier.length;idx<next.length;idx++) {
      next[idx] = new UnCompiledNode<>(this, idx);
    }
    frontier = next;
  }

  // minimize/compile states from previous input's
  // orphan'd suffix

  // 2.从prefixLenPlus1, 进行freeze冰冻操作, 添加并构建最小FST
  freezeTail(prefixLenPlus1);

  // init tail states for current input
  // 3.将当前input剩下的部分插入,构建arc转移(前缀是共用的,不用添加新的状态)。
  for(int idx=prefixLenPlus1;idx<=input.length;idx++) {
    frontier[idx-1].addArc(input.ints[input.offset + idx - 1],
                           frontier[idx]);
    frontier[idx].inputCount++;
  }

  final UnCompiledNode<T> lastNode = frontier[input.length];
  if (lastInput.length() != input.length || prefixLenPlus1 != input.length + 1) {
    lastNode.isFinal = true;
    lastNode.output = NO_OUTPUT;
  }

  // push conflicting outputs forward, only as far as
  // needed
  // 4.如果有冲突的话,重新分配output值
  for(int idx=1;idx<prefixLenPlus1;idx++) {
    final UnCompiledNode<T> node = frontier[idx];
    final UnCompiledNode<T> parentNode = frontier[idx-1];

    final T lastOutput = parentNode.getLastOutput(input.ints[input.offset + idx - 1]);
    assert validOutput(lastOutput);

    final T commonOutputPrefix;
    final T wordSuffix;

    if (lastOutput != NO_OUTPUT) {
      // 使用common方法,计算output的共同前缀
      commonOutputPrefix = fst.outputs.common(output, lastOutput);
      assert validOutput(commonOutputPrefix);
      // 使用subtract方法,计算重新分配的output
      wordSuffix = fst.outputs.subtract(lastOutput, commonOutputPrefix);
      assert validOutput(wordSuffix);
      parentNode.setLastOutput(input.ints[input.offset + idx - 1], commonOutputPrefix);
      node.prependOutput(wordSuffix);
    } else {
      commonOutputPrefix = wordSuffix = NO_OUTPUT;
    }
    output = fst.outputs.subtract(output, commonOutputPrefix);
    assert validOutput(output);
  }

  ...
}

通过注释,我们看到input是经过排序的,也就是ordered。否则生成的就不是最小的FST。另外如果NO_OUTPUT就退化为FSA了,不用执行第4步重新分配output了。

其中freezeTail 方法就是将不再变化的部分进行冰冻,又叫compile,把UnCompileNode,给构建进FST里。进入到FST是先进行compileNode, 然后addNode进去的。

总结以下,加入节点过程:

    1. 新插入input放入frontier,这里还没有加入FST
    1. 依据当前input, 对上次插入数据进行freezeTail操作, 放入FST内
    1. 构建input的转移(Arc)关系
    1. 解决Output冲突,重新分配output,保证路径统一(NO_OUTPUT,不执行)

最后在finish方法里,执行freezeTail(0), 把所有的input构建进FST内。

另外,值得注意的是Lucene里定义的Outputs类型:

fst

其中3个method是Outputs接口定义的,有11个不同类型的实现:

  • T add(T prefix, T output);
  • T subtract(T output, T inc);
  • T common(T output1, T output2) 前缀

完全满足我们上个部分的限制,可见就是基于之前算法的一个完整的实现。

除了在Term词典这块有应用,FST在整个lucene内部使用的也是很广泛的,基本把hashmap记性了替换。
场景大概有以下:

  • 自动联想:suggester
  • charFilter: mappingcharFilter
  • 同义词过滤器
  • hunspell拼写检查词典

总结

FST,不但能共享前缀还能共享后缀。不但能判断查找的key是否存在,还能给出响应的输入output。 它在时间复杂度和空间复杂度上都做了最大程度的优化,使得Lucene能够将Term Dictionary完全加载到内存,快速的定位Term找到响应的output(posting倒排列表)。


参考文档:

Burst Tries
Direct Construction of Minimal Acyclic Subsequential Transducers
Index 1,600,000,000 Keys with Automata and Rust
DFA minimization WikiPedia
Smaller Representation of Finite State Automata
Using Finite State Transducers in Lucene

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